হার্ডওয়্যার-উপযোগী কর্ণরেখা বর্তনী: দক্ষ কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের জন্য
পাউলি অপারেটরগুলিকে কর্ণরেখায় রূপান্তরের জন্য সম্পদ-দক্ষ কোয়ান্টাম বর্তনী নির্মাণের একটি কাঠামো, যা সীমিত সংযোগক্ষমতা সম্পন্ন নিকট-ভবিষ্যতের কোয়ান্টাম যন্ত্রে পরিমাপের ওভারহেড হ্রাস করে।
পাউলি অপারেটরগুলিকে কর্ণরেখায় রূপান্তর করা অনেক কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের একটি মৌলিক উপ-অনুক্রম, বিশেষ করে ভেরিয়েশনাল কোয়ান্টাম আইজেনসলভার (ভিকিউই)-তে হ্যামিল্টনিয়ানের মতো পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশির প্রত্যাশিত মান অনুমানের জন্য। সীমিত সংযোগক্ষমতা ও উচ্চ ত্রুটি হার সম্পন্ন নিকট-ভবিষ্যতের কোয়ান্টাম যন্ত্রে, সম্পদ-দক্ষ কর্ণরেখায় রূপান্তরকারী বর্তনী নির্মাণ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই গবেষণা একটি হার্ডওয়্যার-উপযোগী (এইচটি) কাঠামো উপস্থাপন করে যা পাউলি অপারেটরগুলির কমিউটিং সেটগুলিকে কর্ণরেখায় রূপান্তরের জন্য অতি-নিম্ন গেট সংখ্যার বর্তনী পদ্ধতিগতভাবে নকশা করে, সম্পূর্ণ সংযুক্ত সাধারণ বর্তনী ও অত্যন্ত সীমাবদ্ধ টেনসর প্রোডাক্ট বেসিস (টিপিবি) পদ্ধতির মধ্যকার ব্যবধান পূরণ করে।
2. তাত্ত্বিক কাঠামো
এই কাঠামোটি $O = \sum_{i=1}^{M} c_i P_i$ পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি পরিমাপের চ্যালেঞ্জের উপর প্রতিষ্ঠিত, যেখানে $P_i$ হল পাউলি অপারেটর। দক্ষ পরিমাপের জন্য কমিউটিং পাউলিগুলিকে এমন সেটে দলে ভাগ করা প্রয়োজন যেগুলিকে একই সাথে কর্ণরেখায় রূপান্তর করা যায়।
2.1 সমস্যা বিবৃতি ও প্রেরণা
সাধারণ কমিউটিং (জিসি) সেটগুলির জন্য সাধারণ কর্ণরেখায় রূপান্তরকারী বর্তনীতে $O(n^2)$ সংখ্যক দুই-কিউবিট গেটের প্রয়োজন হয় এবং সীমিত কিউবিট সংযোগক্ষমতা (যেমন, রৈখিক বা গ্রিড স্থাপত্য) সম্পন্ন হার্ডওয়্যারে ভারী সোয়াপ গেট ওভারহেড সৃষ্টি করে। বিকল্প হিসেবে, শুধুমাত্র একক-কিউবিট গেট ব্যবহার করলে কর্ণরেখায় রূপান্তর শুধুমাত্র টেনসর প্রোডাক্ট বেসিস (টিপিবি)-তে সীমাবদ্ধ থাকে, যা পরিমাপযোগ্য সেটের আকারকে উল্লেখযোগ্যভাবে সীমিত করে এবং প্রয়োজনীয় পরিমাপ বর্তনীর (শট) মোট সংখ্যা বৃদ্ধি করে।
এইচটি কর্ণরেখায় রূপান্তর একটি মধ্যবর্তী পথ খোঁজে। এটি যন্ত্রের সংযোগ গ্রাফ অনুযায়ী কৌশলগতভাবে স্থাপিত একটি নিয়ন্ত্রিত সংখ্যক দুই-কিউবিট গেট (যেমন সিএনওটি) ব্যবহারের অনুমতি দেয়, যা টিপিবি-র চেয়ে পাউলির একটি বৃহত্তর সেটকে কর্ণরেখায় রূপান্তর করতে পারে, অন্যদিকে সাধারণ জিসি বর্তনীর পূর্ণ ওভারহেড এড়িয়ে চলে। লক্ষ্য হল হার্ডওয়্যার সীমাবদ্ধতার অধীনে প্রতি পরিমাপ রাউন্ডে পাউলির সংখ্যা সর্বাধিক করা।
2.3 গাণিতিক সূত্রায়ন
কমিউটিং পাউলি অপারেটরগুলির একটি সেট $\mathcal{P} = \{P_1, ..., P_k\}$ সংযোগ গ্রাফ $G$ সম্পন্ন একটি যন্ত্রে এইচটি-কর্ণরেখায় রূপান্তরযোগ্য হবে, যদি একটি ক্লিফোর্ড বর্তনী $C$ থাকে, যা একক-কিউবিট গেট এবং শুধুমাত্র $G$-এর প্রান্ত বরাবর দুই-কিউবিট গেট দ্বারা গঠিত, যাতে সকল $i$-এর জন্য $C P_i C^\dagger$ কর্ণরেখায় ( $Z$ এবং $I$ অপারেটরের গুণফল) হয়। বর্তনী $C$ কার্যকরভাবে $\mathcal{P}$-এর ভাগ করা আইজেনবেসিসকে গণনামূলক বেসিসে ঘুরিয়ে দেয়।
3. অ্যালগরিদম ও পদ্ধতিবিদ্যা
3.1 পাউলি অপারেটরগুলিকে দলে বিভক্তকরণ
লেখকরা একটি হ্যামিল্টনিয়ানের পাউলি পদগুলিকে যৌথভাবে-এইচটি-কর্ণরেখায় রূপান্তরযোগ্য সেটে বিভক্ত করার জন্য একটি অ্যালগরিদম উপস্থাপন করেছেন। এটি একটি সমাবেশগত অপ্টিমাইজেশন সমস্যা যা পাউলিগুলির মধ্যে কমিউটেশন সম্পর্ক এবং হার্ডওয়্যার সংযোগক্ষমতা উভয়ই বিবেচনা করে। অ্যালগরিদমের লক্ষ্য দলের মোট সংখ্যা কমানো, যার ফলে প্রয়োজনীয় স্বতন্ত্র কোয়ান্টাম বর্তনী নির্বাহের সংখ্যা হ্রাস করা।
3.2 এইচটি বর্তনী নির্মাণ
কমিউটিং পাউলির একটি প্রদত্ত দল এবং একটি হার্ডওয়্যার গ্রাফের জন্য, এই কাঠামো কর্ণরেখায় রূপান্তরকারী বর্তনী $C$ নির্মাণের একটি পদ্ধতিগত প্রক্রিয়া সরবরাহ করে। এতে দলের প্রতিটি পাউলিকে একটি কর্ণরেখার রূপে ম্যাপ করার জন্য ক্লিফোর্ড অপারেশন-এর একটি ক্রম (হার্ডওয়্যার প্রান্ত বরাবর একক-কিউবিট গেট ও সিএনওটি) খুঁজে বের করা জড়িত। এই প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত নমনীয় এবং গভীরতা বা নির্দিষ্ট গেট সংখ্যা কমানোর জন্য উপযোগী করা যেতে পারে।
দলগঠন: $\{P_i\}$ কে $S_j$ সেটে বিভক্ত করুন যেখানে $S_j$-এর সকল পাউলি কমিউট করে এবং $G$-তে যৌথভাবে এইচটি-কর্ণরেখায় রূপান্তরযোগ্য।
নির্মাণ: প্রতিটি সেট $S_j$-এর জন্য, উপযোগী প্রক্রিয়া ব্যবহার করে এইচটি কর্ণরেখায় রূপান্তরকারী বর্তনী $C_j$ তৈরি করুন।
নির্বাহ: কোয়ান্টাম যন্ত্রে, প্রতিটি $j$-এর জন্য: $C_j$ প্রয়োগ করুন, গণনামূলক বেসিসে পরিমাপ করুন, একই শট ডেটা থেকে সকল $P_i \in S_j$-এর জন্য $\langle P_i \rangle$ অনুমান করুন।
এই কার্যপ্রবাহটি ভিকিউই-এর মতো অ্যালগরিদমে প্রভাবশালী পরিমাপ ওভারহেড সরাসরি হ্রাস করে।
4. পরীক্ষামূলক ফলাফল ও কার্যকারিতা
4.1 পরিমাপ হ্রাস
বিভিন্ন আণবিক হ্যামিল্টনিয়ান শ্রেণির (যেমন, $H_2$, $LiH$, $H_2O$) জন্য, এইচটি দলগঠন পদ্ধতির সাথে আদর্শ টিপিবি দলগঠনের তুলনা করা হয়েছে। মূল মেট্রিক হল প্রয়োজনীয় পরিমাপ দলের (বর্তনীর) সংখ্যা। ফলাফলগুলি ধারাবাহিকভাবে দেখায় যে এইচটি দলগঠনের জন্য টিপিবি-র চেয়ে কম দলের প্রয়োজন হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি $H_2$ অণু সিমুলেট করার জন্য ৬-কিউবিট রৈখিক শৃঙ্খল টপোলজিতে, এইচটি দলগঠন টিপিবি-র তুলনায় দলের সংখ্যা প্রায় ২০-৩০% হ্রাস করেছে, যা একটি নির্দিষ্ট অনুমান নির্ভুলতার জন্য প্রয়োজনীয় কোয়ান্টাম শটের আনুপাতিক হ্রাসে সরাসরি রূপান্তরিত হয়েছে।
কার্যকারিতা স্ন্যাপশট
বেঞ্চমার্ক: $H_2$ হ্যামিল্টনিয়ান (৪-৬ কিউবিট) টিপিবি দল: ~৮-১০ এইচটি দল (রৈখিক হার্ডওয়্যার): ~৬-৮ হ্রাস: ~২৫% কম পরিমাপ বর্তনী।
4.2 ক্লাউড কোয়ান্টাম কম্পিউটার প্রদর্শন
নীতির প্রমাণ হিসেবে, লেখকরা আইবিএম-এর ক্লাউড-ভিত্তিক কোয়ান্টাম প্রসেসরে এইচটি বর্তনী নির্বাহ করেছেন। তারা ছোট হ্যামিল্টনিয়ান উদাহরণের জন্য প্রত্যাশিত মান পরিমাপ করেছেন। পরীক্ষাগুলি নিশ্চিত করেছে যে নির্মিত এইচটি বর্তনীগুলি সীমিত সংযোগক্ষমতা (যেমন, আইবিএম-এর ফ্যালকন প্রসেসর) সম্পন্ন বাস্তব হার্ডওয়্যারে নির্বাহযোগ্য ছিল এবং ত্রুটি সীমার মধ্যে সঠিক প্রত্যাশিত মান সফলভাবে উৎপন্ন করেছে, যা পদ্ধতির ব্যবহারিক সম্ভাব্যতা যাচাই করেছে।
চার্ট বর্ণনা (ধারণাগত): একটি বার চার্ট সাধারণত Y-অক্ষে "পরিমাপ বর্তনীর সংখ্যা" এবং X-অক্ষে বিভিন্ন ছোট অণুর জন্য বিভিন্ন দলগঠন পদ্ধতি (টিপিবি, জিসি-আদর্শ, এইচটি) দেখাবে। এইচটি-র বারগুলি টিপিবি-র বারগুলির চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট কিন্তু আদর্শ জিসি-র বার (যা সর্ব-সর্ব সংযোগ ধরে নেয়) এর চেয়ে লম্বা হবে, যা এইচটি-র মধ্যবর্তী দক্ষতা লাভ দৃশ্যত প্রদর্শন করবে।
5. প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণ ও কাঠামো
5.1 মূল অন্তর্দৃষ্টি ও যৌক্তিক প্রবাহ
প্রবন্ধের মূল অন্তর্দৃষ্টি নির্মমভাবে ব্যবহারিক: তাত্ত্বিক বর্তনী সর্বোত্তমতা অর্থহীন যদি তা ভৌত হার্ডওয়্যারে ম্যাপ না করে। যৌক্তিক প্রবাহ নিখুঁত: ১) নিকট-ভবিষ্যতের অ্যালগরিদমে বাধা চিহ্নিত করুন (পরিমাপ ওভারহেড)। ২) মূল কারণ নির্ণয় করুন (অমূর্ত জিসি বর্তনী ও স্পার্স হার্ডওয়্যার গ্রাফের মধ্যে অসামঞ্জস্য)। ৩) একটি সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশন সমাধান (এইচটি বর্তনী) প্রস্তাব করুন যা নকশা প্রক্রিয়ায় হার্ডওয়্যার গ্রাফকে প্রথম শ্রেণির নাগরিক হিসেবে স্পষ্টভাবে অন্তর্ভুক্ত করে। এটি শুধু একটি ছোটখাটো পরিবর্তন নয়; এটি একটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারের জন্য নকশা করা থেকে এই নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম কম্পিউটারের জন্য নকশা করার একটি মৌলিক পরিবর্তন। এটি ক্লাসিকাল কম্পিউটিং এবং কিউইস্কিটের ট্রান্সপাইলার বা টিকেট-এর মতো উন্নত কোয়ান্টাম কম্পাইলারে দেখা হার্ডওয়্যার-সচেতন কম্পাইলেশন দর্শনের প্রতিধ্বনি করে, কিন্তু এটিকে সরাসরি কর্ণরেখায় রূপান্তরের অ্যালগরিদমিক আদিম প্রয়োগে প্রয়োগ করে।
5.2 শক্তি ও সমালোচনামূলক ত্রুটি
শক্তি: এই কাঠামোটি পদ্ধতিগত ও নমনীয়, যা বিশেষ উদ্দেশ্যহীন হিউরিস্টিক্সের উপর একটি বড় সুবিধা। হার্ডওয়্যার সীমাবদ্ধতার সাথে এর সরাসরি একীকরণ এটিকে অবিলম্বে মোতায়েনযোগ্য করে তোলে। প্রদর্শিত পরিমাপ দল হ্রাস একটি স্পর্শযোগ্য, হার্ডওয়্যার-নিরপেক্ষ সুবিধা। এটি টিপিবি ও জিসি-র মধ্যে সুন্দরভাবে মধ্যবর্তী অবস্থান তৈরি করে, বর্তনী জটিলতার জন্য একটি সমন্বয়যোগ্য নব সরবরাহ করে।
সমালোচনামূলক ত্রুটি ও উন্মুক্ত প্রশ্ন: কক্ষে উপস্থিত হাতিটি হল বর্তনীর গভীরতা ও বিশ্বস্ততা। যদিও এইচটি বর্তনীর সংখ্যা হ্রাস করে, প্রতিটি বর্তনী টিপিবি বর্তনীর চেয়ে গভীর (আরও সিএনওটি) হতে পারে। আজকের কোলাহলপূর্ণ যন্ত্রে, একটি গভীর বর্তনীর বিশ্বস্ততা কম হতে পারে, যা সম্ভাব্যভাবে শট হ্রাসের সুবিধাকে বাতিল করে দিতে পারে। প্রবন্ধটির মোট সম্পদ ব্যয়-এর একটি আরও কঠোর বিশ্লেষণের প্রয়োজন: (দলের সংখ্যা) * (প্রতি দলের শট * প্রতি শটের ভ্যারিয়েন্স)। প্রতি শটের ভ্যারিয়েন্স বর্তনীর বিশ্বস্ততার উপর নির্ভর করে। তদুপরি, বড়, জটিল অণু (যেমন, ৫০+ কিউবিট বিশিষ্ট অনুঘটক) এবং ক্লাসিকাল পাশে এর গণনামূলক জটিলতার জন্য দলগঠন অ্যালগরিদমের মাপযোগ্যতা সম্পূর্ণরূপে অন্বেষণ করা বাকি রয়েছে। এটি একটি গণনামূলকভাবে ভারী প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ ধাপে পরিণত হওয়ার ঝুঁকিতে রয়েছে।
5.3 বাস্তবায়নযোগ্য অন্তর্দৃষ্টি ও প্রভাব
কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম বিকাশকারী এবং আইবিএম, পাসকাল, বা কোয়ান্টিনুয়ামের মতো কোম্পানিগুলির জন্য, এই কাজটি একটি বাস্তবায়নযোগ্য নীলনকশা সরবরাহ করে। প্রথমত, এটিকে টিপিবি ও জিসি-র পাশাপাশি একটি আদর্শ দলগঠন বিকল্প হিসেবে কোয়ান্টাম সফটওয়্যার ডেভেলপমেন্ট কিট (এসডিকে)-তে একীভূত করা উচিত। দ্বিতীয়ত, হার্ডওয়্যার নকশাকারীরা লক্ষ্য রাখুন: এই গবেষণা সংযোগক্ষমতার মূল্য পরিমাপ করে। একটি আরও সংযুক্ত স্থাপত্য (যেমন, হেভি-হেক্স বনাম রৈখিক) এইচটি বর্তনীগুলিকে আদর্শ জিসি কার্যকারিতার কাছাকাছি আসতে দেবে, স্থাপত্যের বিনিময়ের জন্য একটি মূর্ত মেট্রিক সরবরাহ করবে। তৃতীয়ত, আজ ভিকিউই চালানো অনুশীলনকারীদের জন্য, অবিলম্বে গ্রহণযোগ্য বিষয় হল আপনার লক্ষ্য সমস্যা ও হার্ডওয়্যারে টিপিবি-র বিরুদ্ধে এইচটি-র বেঞ্চমার্ক করা। ধরে নেবেন না যে টিপিবি সর্বোত্তম। টিপিবি-এইচটি-জিসি বর্ণালীতে সর্বোত্তম বিন্দু সমস্যা ও হার্ডওয়্যার-নির্ভর। এই কাঠামোটি সেই সর্বোত্তম বিন্দু খুঁজে বের করার সরঞ্জাম সরবরাহ করে, এক-আকার-সব-এর কর্ণরেখায় রূপান্তর কৌশলের বাইরে এগিয়ে যেতে সাহায্য করে।
6. ভবিষ্যতের প্রয়োগ ও দিকনির্দেশনা
ভিকিউই-এর বাইরে: পাউলি পরিমাপের প্রয়োজন এমন অন্যান্য অ্যালগরিদমে প্রয়োগ, যেমন কোয়ান্টাম সাবস্পেস ডায়াগোনালাইজেশন, পাউলি ফিচার ম্যাপ সহ কোয়ান্টাম মেশিন লার্নিং মডেল এবং ক্লিফোর্ড ডেটা রিগ্রেশনের মতো ত্রুটি প্রশমন কৌশল।
ত্রুটি প্রশমনের সাথে একীকরণ: এইচটি বর্তনীকে জিরো-নয়েজ এক্সট্রাপোলেশন বা সম্ভাব্যতা-ভিত্তিক ত্রুটি বাতিলের সাথে সমন্বয় করা, গভীরতা বৃদ্ধির ত্রুটি হারের উপর প্রভাবের সতর্কতা সহকারে হিসাব রাখা।
গতিশীল অভিযোজন: বর্তমান যন্ত্র ক্যালিব্রেশন ডেটা (গেট বিশ্বস্ততা, সংযোগ পরিবর্তন) এর ভিত্তিতে বাস্তব সময়ে এইচটি বর্তনীগুলি অভিযোজিত করতে পারে এমন অ্যালগরিদম বিকাশ করা।
হার্ডওয়্যারের সাথে সহ-নকশা: লক্ষ্য সমস্যা শ্রেণির (যেমন, কোয়ান্টাম রসায়ন) জন্য দক্ষ এইচটি কর্ণরেখায় রূপান্তরের জন্য বিশেষভাবে উপযোগী সংযোগ গ্রাফ থাকার জন্য পরবর্তী প্রজন্মের কোয়ান্টাম প্রসেসিং ইউনিট (কিউপিইউ)-এর নকশাকে প্রভাবিত করা।
দলগঠনের জন্য মেশিন লার্নিং: বৃহৎ-স্কেল হ্যামিল্টনিয়ানের জন্য সর্বোত্তম এইচটি দলগঠন সমস্যা আরও দক্ষভাবে সমাধান করতে রিইনফোর্সমেন্ট লার্নিং বা গ্রাফ নিউরাল নেটওয়ার্ক ব্যবহার করা।
7. তথ্যসূত্র
IBM Quantum Experience. https://quantum-computing.ibm.com
Peruzzo, A., et al. "A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor." Nature Communications 5, 4213 (2014).
Kandala, A., et al. "Hardware-efficient variational quantum eigensolver for small molecules and quantum magnets." Nature 549, 242–246 (2017).
McClean, J. R., et al. "The theory of variational hybrid quantum-classical algorithms." New Journal of Physics 18, 023023 (2016).
Gokhale, P., et al. "$O(n^3)$ Measurement Cost for Variational Quantum Eigensolver on Molecular Hamiltonians." IEEE Transactions on Quantum Engineering, 1, 1–24 (2020).
Izmaylov, A. F., et al. "Unitary partitioning approach to the measurement problem in the variational quantum eigensolver method." Journal of Chemical Theory and Computation 16.1, 190-195 (2019).
